
\chapter{暴胀}

在前一章中对FRW宇宙学的描述是不完整的。这并不能解释为什么宇宙在大尺度上是均匀的和各向同性的。
事实上，在标准宇宙学预测中，早期宇宙是由许多因果分离的空间区域组成。
然而在空间中明显不相交的区块几乎具有相同的密度和温度，这一事实被称为视界问题。
在这一章中，我将解释暴胀\textnote{一段早期的加速膨胀}是如何推动原初宇宙向均匀性和各向同性发展的，即使宇宙从更加一般的初始状态开始也一样。





在本章中，我们将把牛顿常数$G$换成\textnote{约化的}普朗克质量
\begin{equation*}
	M_{\mathrm{pl}} \equiv \sqrt{\frac{\hbar c}{8 \pi G}}=2.4 \times 10^{18} \mathrm{GeV},
\end{equation*}
因此，Friedmann方程（1.3.117）被写成$H^2=\rho /\left(3 M_{\mathrm{pl}}^2\right)$。




\section{视界问题}


\subsection{粒子视界}


一片有因果连系区域的大小取决于光线在特定时间内传播的距离。
正如我们在$\S 1.1 .3$中提到的，对膨胀时空中光\textnote{光子}的传播最好使用共形时间来研究。
由于时空是各向同性的，我们总是可以定义一个坐标系，使得光仅沿径向传播\textnote{即$\theta=\phi=$常量}。
 然后，演化由下面的二维线元决定\footnote{对于径向坐标$\chi$，我们使用了$(1.1 .24)$的参数化，因此（2.1.1）与二维闵可夫斯基空间共形，三维空间切片的曲率$k$被吸收到坐标$\chi$的定义中。
 	如果我们使用通常的极坐标$r$，则二维线元对$k$的依赖性将保留。
 	对于平直切片，$\chi$和$r$当然是相同的。
}
\begin{equation}
	\mathrm{d} s^2=a^2(\eta)\left[\mathrm{d} \eta^2-\mathrm{d} \chi^2\right] .
\end{equation}
由于光子沿着零模\textnote{类光}测地线传播，$\mathrm{d} s^2=0$，其路径可由下式定义
\begin{equation}
	\Delta \chi(\eta)=\pm \Delta \eta,
\end{equation}
其中加号对应于向外走的光子，而负号对应于向内走的光子。
这显示出了使用共形时间的主要好处：光线对应于$\chi-\eta$坐标系中的$45^{\circ}$角度直线。
如果替换成我们以前使用的物理时间$t$，那么弯曲时空的光锥也将变得弯曲。




等式（2.1.2）告诉我们，光在两时刻$\eta_1$和$\eta_2>\eta_1$间能传播的最大共移动距离，可被简单的表示为$\Delta \eta=\eta_2-\eta_1$\textnote{回想一下$c \equiv 1$}。
因此，如果大爆炸“开始于”$t_i \equiv 0$时刻的奇点，\footnote{
注意到，大爆炸奇点是时间上的一个时刻，但不是空间上的一点。事实上，在图$2.1$和$2.2$中，我们通过一个展开的\textnote{可能是无限的}类空超曲面来描述奇点。
}
那么在$t$时刻的观察者，接收到以光速信号中能够传播的最大共动移动距离由下式给出：
\begin{equation}
	\chi_{\mathrm{p}}(\eta)=\eta-\eta_i=\int_{t_i}^t \frac{\mathrm{d} t}{a(t)} .
\end{equation}
这被称为\textnote{共动}粒子视界。
在$\eta$时刻粒子视界的大小，可以通过观察者$\mathcal{O}$的过去光锥与类空间面$\eta=\eta_i$的相交来看出（见图2.1）。
能与观察者产生因果影响的事件必须在该区域内。
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.63\linewidth]{picture/0031.svg}
	\caption{阐述粒子视界概念的时空图，即我们可以接收到信号的最大距离。}
\end{figure}




\subsection{哈勃半径}


方程式（2.1.3）可以用如下启发性的方式写出
\begin{equation}
	\chi_{\mathrm{p}}(\eta)=\int_{t_i}^t \frac{\mathrm{d} t}{a}=\int_{a_i}^a \frac{\mathrm{d} a}{a \dot{a}}=\int_{\ln a_i}^{\ln a}(a H)^{-1} \mathrm{~d} \ln a,
\end{equation}
其中$a_i \equiv 0$对应于大爆炸奇点。
因此，时空的因果结构与共动哈勃半径$(a H)^{-1}$的演化联系了起来。
对由恒定状态方程$w \equiv P / \rho$的流体支配的宇宙，我们得到
\begin{equation}
	(a H)^{-1}=H_0^{-1} a^{\frac{1}{2}(1+3 w)} .
\end{equation}
注意指数对组合$(1+3 w)$的依赖性。
所有熟悉的物质源都满足强能量条件\textnote{SEC}，$1+3 w>0$，因此，这曾经是一个标准假设，即共动哈勃半径随着宇宙的膨胀而增加。
在这种情况下，（2.1.4）中的积分由上限主导，来自于早期的贡献趋于零。
在完美流体的例子中我们清楚地看到了这一点。
在（2.1.4）中使用（2.1.5），我们有
\begin{equation}
	\chi_{\mathrm{p}}(a)=\frac{2 H_0^{-1}}{(1+3 w)}\left[a^{\frac{1}{2}(1+3 w)}-a_i^{\frac{1}{2}(1+3 w)}\right] \equiv \eta-\eta_i .
\end{equation}
共动视界最大的贡献来自于晚期时刻，这一事实可以通过$ \eta_i $的定义看出
\begin{equation}
	\eta_i \equiv \frac{2 H_0^{-1}}{(1+3 w)} a_i^{\frac{1}{2}(1+3 w)} \stackrel{a_i \rightarrow 0, w>-\frac{1}{3}}{\longrightarrow} 0 .
\end{equation}
共运动视界是有限的，
\begin{equation}
	\chi_{\mathbf{p}}(t)=\frac{2 H_0^{-1}}{(1+3 w)} a(t)^{\frac{1}{2}(1+3 w)}=\frac{2}{(1+3 w)}(a H)^{-1}
\end{equation}
我们看到，在标准宇宙学中$\chi_{\mathrm{p}} \sim(a H)^{-1}$。
这导致了有点令人迷惑的行为，将粒子视界和哈勃半径都称为“视界”。


\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.55\linewidth]{picture/0032.svg}
	\caption{传统大爆炸模型中的视界问题。
		我们目前观察到的所有事件都在我们的过去光锥中。
		我们的过去光锥与被标记为“重结合”的类空切片的交点，对应于在CMB中观测到的两个相对点。
		它们的过去光锥在到达奇点\textnote{$a_i=0$}之前并没有重叠部分，因此这些点似乎从未发生过因果联系。
		这同样适用于在CMB中天空上相隔超过1度的任何两点。
	}
\end{figure}






\subsection{为何CMB如此均匀}

大爆炸后约38万年，宇宙已经足够冷，允许氢原子首先形成。
在这个过程中，光子从原初等离子体\textnote{见$ \S 3.3.3 $}中解耦出来。
我们以宇宙微波背景\textnote{CMB}的形式观察到这一事件，这是热大爆炸的余晖。
值得注意的是，这种辐射几乎是完全各向同性，CMB温度的各向异性小于万分之一。


片刻的思考会使你相信，从$t_i=0$到CMB形成\textnote{$t_{\mathrm{rec}}$}期间的共形时间有限性，
暗示着一个严重问题：这意味着CMB的很多区域有着不重叠的过去光锥，因此它们从未处于因果联系中。
图2.2的时空图说明了这一点。
考虑天空中两个相反的方向。
我们从这两个方向接收到的CMB光子，发射于图2.2上标记为$p$和$q$的两点。
我们看到，光子的发射时刻离大爆炸奇点非常近，以至于$p$和$q$的过去光锥没有重叠部分。
这意味着没有点处于$p$和$q$共同的粒子视界内。
这导至了如下疑难：来自$p$和$q$的光子如何“知道”它们应该处于几乎完全相同的温度？
同样的问题也适用于CMB中天空上相隔超过1度的任何两点。
CMB的均匀性跨越的尺度远大于CMB形成时的粒子视界。
事实上，在标准宇宙学中，CMB由大约$10^4$个没联系的空间区域组成。
若这些区域没有足够的时间去相互交流，那么为什么它们看起来是如此的相似？
这就是视界问题。





\section{收缩的哈勃球}

我们对视界问题的描述，突显了在标准大爆炸宇宙学中不断增长的哈勃球所起的根本作用。
一个视界问题的简单解决方案表明了这一点：让我们推测在早期宇宙中存在哈伯半径减小的这么一个阶段，
\begin{equation}
	\frac{d}{d t}(a H)^{-1}<0 .
\end{equation}
如果这种情况持续的时间足够长，那么视界问题就可以避免。
物理上，收缩的哈勃球体要求一种违反SEC\textnote{强能量条件}的流体，$1+3 w<0$。
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.55\linewidth]{picture/0033.svg}
	\caption{视界问题的暴胀解决方案。
		在暴胀期间共形时间为负值。
		标准大爆炸的类空奇点被重加热面取代，也就是说，它现在仅仅只对应于从暴胀到标准大爆炸演化的过渡，而不是标志着时间的开始。
		CMB中所有点的过去光锥都重叠了，因此都起源于一个有着因果联系的空间区域。
	}
\end{figure}




\subsection{视界问题的解决}

对于收缩的哈勃球，（2.1.4）中的积分由下限主导。
大爆炸的奇点现在被推到负共形时间，
\begin{equation}
	\eta_i=\frac{2 H_0^{-1}}{(1+3 w)} a_i^{\frac{1}{2}(1+3 w)} \stackrel{a_i \rightarrow 0, w<-\frac{1}{3}}{\longrightarrow}-\infty .
\end{equation}
这意味着“奇点和\textnote{光子}退耦间的共形时间比我们想象的要多得多”！
图$2.3$显示了一副新的时空图。
如果$\left|\eta_S\right|>e^{60}\left|\eta_E\right|$，那么CMB中大范围分离点的过去光锥，现在有足够多的时间产生交集。
CMB中的一致性不再是一个谜了。
在暴胀宇宙学中，$\eta=0$不是初始的奇点，而是成为暴胀和标准大爆炸演化间的过渡点。在$\eta=0$之前与之后都存在时间。




\subsection{暴胀的条件}

我喜欢把收缩的哈勃球作为暴胀的基本定义，因为它与视界问题直接相关，也是暴胀机制产生涨落的一个关键特征\textnote{见第6章}。
然而，在我们继续讨论什么样的物理会导致哈勃球收缩之前，让我向你展示一下，这种暴胀的定义，跟其他几种常用的描述膨胀的方式是等价的。

\begin{itemize}
	\item 
加速膨胀。---从下面的关系
\begin{equation}
	\frac{d}{d t}(a H)^{-1}=\frac{d}{d t}(\dot{a})^{-1}=-\frac{\ddot{a}}{(\dot{a})^2},
\end{equation}
我们可以看到，一个收缩的共动哈勃半径意味着加速膨胀
\begin{equation}
	\ddot{a}>0 .
\end{equation}
这也解释了为什么暴胀通常被定义为一段加速膨胀期。



\item 
缓慢变化的哈勃参数。---或者，我们可以写为
\begin{equation}
	\frac{d}{d t}(a H)^{-1}=-\frac{\dot{a} H+a \dot{H}}{(a H)^2}=-\frac{1}{a}(1-\varepsilon), \quad \text { where } \quad \varepsilon \equiv-\frac{\dot{H}}{H^2} .
\end{equation}
因此，收缩的哈勃球也对应于
\begin{equation}
	\varepsilon=-\frac{\dot{H}}{H^2}<1
\end{equation}


\item 
准de Sitter 膨胀。---在极限$\varepsilon \rightarrow 0$下，时空变为de Sitter 空间
\begin{equation}
	\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} t^2-e^{2 H t} \mathrm{~d} \boldsymbol{x}^2,
\end{equation}
其中$H=\partial_t \ln a=$常量。
由于暴胀必须结束，所以它不应该精确对应于de Sitter 空间。
然而，对于很小但有限的$\varepsilon \neq 0$，线元（2.2.15）仍然是暴胀背景下一个很好的近似。
这就是为什么我们经常将暴胀称为准de Sitter 时期。



\item 
负压。---什么形式的应力--能量源能引起加速膨胀呢？
让我们考虑压力为$P$、密度为$\rho$的理想流体。
Friedmann方程$H^2=\rho /\left(3 M_{\mathrm{pl}}^2\right)$和连续性方程$\dot{\rho}=-3 H(\rho+P)$，共同化为
\begin{equation}
	\dot{H}+H^2=-\frac{1}{6 M_{\mathrm{pl}}^2}(\rho+3 P)=-\frac{H^2}{2}\left(1+\frac{3 P}{\rho}\right) .
\end{equation}
我们重新排列后发现，
\begin{equation}
	\varepsilon=-\frac{\dot{H}}{H^2}=\frac{3}{2}\left(1+\frac{P}{\rho}\right)<1 \quad \Leftrightarrow \quad w \equiv \frac{P}{\rho}<-\frac{1}{3},
\end{equation}
即暴胀要求负压强，或违反强能量条件。
这在物理理论中是如何在出现的，将在下一节中给出解释。
我们将看到，强能量条件没有啥神圣的，它很容易被违反。


\item 
恒定密度。---结合连续性方程$\dot{\rho}=-3 H(\rho+P)$和方程（2.2.16），我们发现
\begin{equation}
	\left|\frac{d \ln \rho}{d \ln a}\right|=2 \varepsilon<1 .
\end{equation}
因此对于很小的$\varepsilon$，能量密度几乎恒定。
传统的物质来源都会随着膨胀而被稀释，所以我们需要寻找一此非比寻常的东西。


\end{itemize}







\section{暴胀物理学}


我们已经证明，给定FRW时空中的时间依赖哈勃参数$H(t)$对应于宇宙加速膨胀，当且仅当
\begin{equation}
	\varepsilon \equiv-\frac{\dot{H}}{H^2}=-\frac{d \ln H}{d N}<1 .
\end{equation}
在这里，我们已经定义的$\mathrm{d} N \equiv \mathrm{d} \ln a=H \mathrm{d} t$，是衡量暴胀膨胀大小的$ e $倍数$ N $。\myfootnote{所谓的$ e $倍数$ N $说的是变化$ N $个$ e $倍，即$ e ^{N}$，
	文中表示$ a(t) $改变$ e^{N} $倍。英文原文对应于“which measures the number of e-folds N of inflationary
	expansion。}
方程（2.3.19）表明在每个$e$倍下，哈勃参数的改变是很小的。
此外，为了解决视界问题，我们希望暴胀持续足够长的时间\textnote{一般至少要保证$ e $倍数$ N $在$  40$到$60 $间}。
要实现这一点，需要$\varepsilon$在足够长的哈勃时间内都保持较小。
该条件可由第二个参数衡量
\begin{equation}
	\eta \equiv \frac{d \ln \varepsilon}{d N}=\frac{\dot{\varepsilon}}{H \varepsilon} .
\end{equation}
对于$|\eta|<1$，每哈勃时间上，$\varepsilon$的微小改变对应的改变是很小的，膨胀能够持续。
在本节中，我们将讨论微观物理上能够导致$\varepsilon<1$和$|\eta|<1$的条件。



\subsection{标量场动力学}

作为一个简单的暴胀示例模型，我们考虑一个标量场的暴胀子，即$\phi(t, \boldsymbol{x})$。
该符号说明，场的取值取决于时间$t$和空间位置$\boldsymbol{x}$。
与场的每个取值相联系的是势能密度$V(\phi)$\textnote{见图2.4}。
如果场是动力学的\textnote{即随时间变化}，那么它也携带动能密度。
如果与标量场相关的应力--能量张量主导了宇宙，则它也是FRW背景时空演化的源。
我们想确定的是在什么条件下这会导致加速膨胀。
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.43\linewidth]{picture/0036.svg}
	\caption{一个慢滚势的例子。暴胀发生在势能的阴影区域。
	}
\end{figure}


标量场的应力--能量张量为
\begin{equation}
	T_{\mu \nu}=\partial_\mu \phi \partial_\nu \phi-g_{\mu \nu}\left(\frac{1}{2} g^{\alpha \beta} \partial_\alpha \phi \partial_\beta \phi-V(\phi)\right)
\end{equation}
FRW时空的对称一致性要求暴胀子的在背景时空上的取值仅依赖于时间，$\phi=\phi(t)$。
从时间--时间分量$T_0^0=\rho_\phi$中，我们得出
\begin{equation}
	\rho_\phi=\frac{1}{2} \dot{\phi}^2+V(\phi) .
\end{equation}
我们看到，总能量密度$\rho_\phi$，仅是动能密度$\frac{1}{2} \dot{\phi}^2$和势能密度$V(\phi)$的和。
从空间--空间分量$T_j^i=-P_\phi \delta_j^i$中，我们发现压强是动能密度和势能密度之差，
\begin{equation}
	P_\phi=\frac{1}{2} \dot{\phi}^2-V(\phi) .
\end{equation}
我们看到，如果势能大于动能处于主导地位，那么这种结构的场就会导致暴胀，$P_\phi<-\frac{1}{3} \rho_\phi$。


接下来，我们将更详细地研究暴胀子$\phi(t)$和FRW标度因子$a(t)$的演变。
将（2.3.22）中的$\rho_\phi$代入Friedmann方程，$H^2=\rho_\phi /\left(3 M_{\mathrm{pl}}^2\right)$，得到
\begin{equation}
	H^2=\frac{1}{3 M_{\mathrm{pl}}^2}\left[\frac{1}{2} \dot{\phi}^2+V\right]
\end{equation}
取时间导数，我们得到
\begin{equation}
	2 H \dot{H}=\frac{1}{3 M_{\mathrm{pl}}^2}\left[\dot{\phi} \ddot{\phi}+V_{, \phi} \dot{\phi}\right],
\end{equation}
其中$V_{, \phi} \equiv d V / d \phi$。
将$\rho_\phi$和$P_\phi$代入Friedmann方程（2.2.16）的第二式，$\dot{H}=-\left(\rho_\phi+P_\phi\right) /\left(2 M_{\mathrm{pl}}^2\right)$，得到
\begin{equation}
	\dot{H}=-\frac{1}{2} \frac{\dot{\phi}^2}{M_{\mathrm{pl}}^2} .
\end{equation}
注意，$\dot{H}$来自于动能密度。
结合（2.3.26）与（2.3.25），可得到Klein--Gordon方程
\begin{equation}
	\ddot{\phi}+3 H \dot{\phi}+V_{, \phi}=0 \text {. }
\end{equation}
这是标量场的演化方程。
注意到，势的作用$V_{, \phi}$很像一种力，而$H \dot{\phi}$相当于在宇宙的膨胀中增加了摩擦力。




\subsection{慢滚暴胀}


将等式（2.3.26）代入$\varepsilon$的定义式（2.3.19），我们发现
\begin{equation}
	\varepsilon=\frac{\frac{1}{2} \dot{\phi}^2}{M_{\mathrm{pl}}^2 H^2} .
\end{equation}
因此，如果动能$\frac{1}{2} \dot{\phi}^2$对总能量$\rho_\phi=3 M_{\mathrm{pl}}^2 H^2$的贡献很小，则暴胀就可发生\textnote{$\varepsilon<1$}。这种情况被称为慢滚暴胀。




为了使这个条件能持续下去，标量场的加速度必须足够小。
对此进行计估时，可定义个每哈勃时间下的无量纲加速度
\begin{equation}
	\delta \equiv-\frac{\ddot{\phi}}{H \dot{\phi}} \text {. }
\end{equation}
取$(2.3 .28)$对时间的导数，
\begin{equation}
	\dot{\varepsilon}=\frac{\dot{\phi} \ddot{\phi}}{M_{\mathrm{pl}}^2 H^2}-\frac{\dot{\phi}^2 \dot{H}}{M_{\mathrm{pl}}^2 H^3},
\end{equation}
与（2.3.20）相比，我们有
\begin{equation}
	\eta=\frac{\dot{\varepsilon}}{H \varepsilon}=2 \frac{\ddot{\phi}}{H \dot{\phi}}-2 \frac{\dot{H}}{H^2}=2(\varepsilon-\delta) .
\end{equation}
因此，$\{\varepsilon,|\delta|\} \ll 1$意味着$\{\varepsilon,|\eta|\} \ll 1$。





慢滚近似。---到目前为止，没做任何近似。
我们只是注意到，在$\{\varepsilon,|\delta|\} \ll 1$的条件下，暴胀能够发生并维持。
我们现在使用这些条件来简化运动方程。
这被称为慢滚近似。
条件$\varepsilon \ll 1$意味着$\frac{1}{2} \dot{\phi}^2 \ll V$，这也因此导至Friedmann方程(2.3.24)式有着如下简化形式
\begin{equation}
	H^2 \approx \frac{V}{3 M_{\mathrm{pl}}^2}
\end{equation}
在慢滚近似中，哈勃膨胀完全由势能决定。
条件$|\delta| \ll 1$将Klein--Gordon方程（2.3.27）简化为
\begin{equation}
	3 H \dot{\phi} \approx-V_{, \phi} \text {. }
\end{equation}
这提供了势能梯度和暴胀子速度间的简单关系。
将（2.3.32）和（2.3.33）代入（2.3.28）给出
\begin{equation}
	\varepsilon=\frac{\frac{1}{2} \dot{\phi}^2}{M_{\mathrm{pl}}^2 H^2} \approx \frac{M_{\mathrm{pl}}^2}{2}\left(\frac{V_{, \phi}}{V}\right)^2 .
\end{equation}
此外，求出（2.3.33）对时间的导数，
\begin{equation}
	3 \dot{H} \dot{\phi}+3 H \ddot{\phi}=-V_{, \phi \phi} \dot{\phi},
\end{equation}
最终得到
\begin{equation}
	\delta+\varepsilon=-\frac{\ddot{\phi}}{H \dot{\phi}}-\frac{\dot{H}}{H^2} \approx M_{\mathrm{pl}}^2 \frac{V_{, \phi \phi}}{V} .
\end{equation}
因此，估计给定势$V(\phi)$是否会导致慢滚暴胀的一种简单方法是去计算慢滚势参数\footnote{
	相比之下，参数$\varepsilon$和$\eta$通常被称为哈勃慢滚参数。
	在慢滚条件下，这些参数有如下关系：$\epsilon_{\mathrm{v}} \approx \varepsilon$和$\eta_{\mathrm{v}} \approx 2 \varepsilon-\frac{1}{2} \eta$。
}
\begin{equation}
	\epsilon_{\mathrm{v}} \equiv \frac{M_{\mathrm{pl}}^2}{2}\left(\frac{V_{, \phi}}{V}\right)^2, \quad\left|\eta_{\mathrm{v}}\right| \equiv M_{\mathrm{pl}}^2 \frac{\left|V_{, \phi \phi}\right|}{V} .
\end{equation}
当这些参数都很小时，$\left\{\epsilon_{\mathrm{v}},\left|\eta_{\mathrm{v}}\right|\right\} \ll 1$，慢滚暴胀可成功发生。



暴胀量。---加速膨胀的总$e$倍数为
\begin{equation}
	N_{\text {tot }} \equiv \int_{a_S}^{a_E} \mathrm{~d} \ln a=\int_{t_S}^{t_E} H(t) \mathrm{d} t,
\end{equation}
其中$t_S$和$t_E$被定义为当$\varepsilon\left(t_S\right)=\varepsilon\left(t_E\right) \equiv 1$的时间。
在慢滚条件下，我们可以使用
\begin{equation}
H \mathrm{~d} t=\frac{H}{\dot{\phi}} \mathrm{d} \phi=\frac{1}{\sqrt{2 \varepsilon}} \frac{|\mathrm{d} \phi|}{M_{\mathrm{pl}}} \approx \frac{1}{\sqrt{2 \epsilon_{\mathrm{v}}}} \frac{|\mathrm{d} \phi|}{M_{\mathrm{pl}}}
\end{equation}
将（2.3.38）作为一个在暴胀子的场空间上的积分写出\footnote{积分上的绝对值表明，我们在以保证$N_{\text {tot }}>0$的方式下，选取了能积分的所有区域。
}
\begin{equation}
	N_{\text {tot }}=\int_{\phi_S}^{\phi_E} \frac{1}{\sqrt{2 \epsilon_{\mathrm{v}}}} \frac{|\mathrm{d} \phi|}{M_{\mathrm{pl}}},
\end{equation}
其中$\phi_S$和$\phi_E$被定义为$\epsilon_{\mathrm{v}}<1$区间的边界。
CMB中最大尺度观察表明，在暴胀结束前，需要产生的$ e $倍数约为$ 60 $
\begin{equation}
	N_*=\int_{\phi_*}^{\phi_E} \frac{1}{\sqrt{2 \epsilon_{\mathrm{v}}}} \frac{|\mathrm{d} \phi|}{M_{\mathrm{pl}}} \approx 60 .
\end{equation}
视界问题的成功解决需要$N_{\text {tot }}>N_* \approx 60$。


\begin{omnipotent}{案例学习}
$m^2 \phi^2$暴胀。---作为一个例子，让我们给出可论证地最简单暴胀模型的慢滚分析：由如下质量项驱动的单场暴胀
\begin{equation}
	V(\phi)=\frac{1}{2} m^2 \phi^2 .
\end{equation}
慢滚参数为
	\begin{equation}
		\epsilon_{\mathrm{v}}(\phi)=\eta_{\mathrm{v}}(\phi)=2\left(\frac{M_{\mathrm{pl}}}{\phi}\right)^2 .
	\end{equation}
为了满足慢滚条件$\epsilon_{\mathrm{v}},\left|\eta_{\mathrm{v}}\right|<1$，因此我们需要考虑超过普朗克质量值的暴胀子
	\begin{equation}
		\phi>\sqrt{2} M_{\mathrm{pl}} \equiv \phi_E .
	\end{equation}
暴胀子场的值与暴胀结束前$e$倍数之间的关系为
	\begin{equation}
		N(\phi)=\int_{\phi_E}^\phi \frac{\mathrm{d} \phi}{M_{\mathrm{pl}}} \frac{1}{\sqrt{2 \epsilon_{\mathrm{v}}}}=\frac{\phi^2}{4 M_{\mathrm{pl}}^2}-\frac{1}{2} .
	\end{equation}
CMB中观察到的涨落产生于
\begin{equation}
	\phi_*=2 \sqrt{N_*} M_{\mathrm{pl}} \sim 15 M_{\mathrm{pl}} .
\end{equation}


\end{omnipotent}


\subsection{重加热}

在暴胀过程中，宇宙中的大部分能量密度都是以暴胀子势$V(\phi)$的形式存在。
当势能变陡，暴胀子场获得动能时，暴胀结束。
然后，暴胀子部分的能量转移到标准模型的粒子上。
这个过程被称为重加热，并且热大爆炸\textnote{Hot Big Bang}也从此处开始。
我们时间有限，对重加热现象中的基础概念，只进行简短的定性描述。


标量场振荡。---暴胀后，暴胀子场$\phi$开始在势能$V(\phi)$的底部振荡，见图2.4。
假设接近$V(\phi)$最小值处的势能可以近似写为$V(\phi)=$ $\frac{1}{2} m^2 \phi^2$，其中$\phi$的振幅很小。
暴胀子$\phi(t)$仍然是均匀的，因此其运动方程为
\begin{equation}
	\ddot{\phi}+3 H \dot{\phi}=-m^2 \phi .
\end{equation}
膨胀时间尺度很快变得远大于振荡周期，$H^{-1} \gg m^{-1}$。
我们可以忽略摩擦项，及场以频率$m$振荡。
我们可以将能量连续性方程写成
\begin{equation}
	\dot{\rho}_\phi+3 H \rho_\phi=-3 H P_\phi=-\frac{3}{2} H\left(m^2 \phi^2-\dot{\phi}^2\right) .
\end{equation}
右边的平均值在一个振荡周期内为零。
因此，振荡场的行为类似于无压强的物质，$\rho_\phi \propto a^{-3}$。
能量密度的下降反映在振荡幅度的减小中。






暴胀子衰变。---为了避免宇宙最终空无一物，暴胀子需要跟标准模型场相耦合。
储存在暴胀子场中的能量将被转移到普通粒子中去。
如果衰变缓慢\textnote{例如，暴胀子仅能衰变为费米子}，暴胀子的能量密度将遵循如下方程
\begin{equation}
	\dot{\rho}_\phi+3 H \rho_\phi=-\Gamma_\phi \rho_\phi,
\end{equation}
其中$\Gamma_\phi$参数表示暴胀子衰变率。
如果膨胀子可以衰变为玻色子，那么衰变将会非常迅速，这涉及一种称为参数共振的机制\textnote{源于玻色凝聚效应}。
这种快速衰变被称为预加热，因此从玻色子产生后就远离热平衡态。






热化。---通过暴胀子衰变产生的粒子将发生相互作用，通过粒子的各种反应产生其他粒子，最终生成的粒子汤将在一定温度$T_{\text {rh }}$下达到热平衡态。
该重加热的温度由重加热结束时期的能量密度$\rho_{\mathrm{rh}}$确定。
必然地，$\rho_{\mathrm{rh}}<\rho_{\phi, E}$\textnote{其中$\rho_{\phi, E}$是暴胀结束时暴胀子的能量密度}。
如果重新加热花了较长时间，我们可能会有$\rho_{\text {rh }} \ll \rho_{\phi, E}$。
粒子气体向热平衡态的演化包含相当多的内容。
由于粒子能够相互作用，通常只是假设它最终会发生。
然而，有些粒子\textnote{如重力子}可能永远都不会达到热平衡，因为它们的相互作用非常微弱。
不管怎样，只要粒子的动量远大于它们的质量，无论动量空间分布如何，该宇宙能量密度的行为就跟辐射一样。
至少在重子、光子和中微子的热化完成之后，标准的热大爆炸时代才开始。








